Tanımsız ile belirsiz arasındaki fark ne peki Murat ?
Gerçekten merak ettiğinizi kabul ederek sorulmuş bir soru üzerine12 Nisan 2008 de kendi yönettiğim sitemde bu konuyla alakalı yazımı paylaşıyorum.Yazı da sonsuzlukla da ilgilenmiştik.Siz merakınızı giderecek kadar bilgiyi yazının içinden alınız. Konu üzerinde çokça bilimsel yazıya ulaşılabilir. En anlaşılır haliyle aşağıdaki gibidir.
Bana öyle bir sayının 0'a bölümünden çıkan bir sonuç söyleyin ki, sonucu tekrar 0 ile çarptığımda bölünen sayıyı versin.
böyle bir durum olmadığından, yani herhangi bir sayının 0'a bölümünden çıkan sonuca bir sayı tanımlayamadığımızdan tanımsızdır.
18/2 = 9 => 9.2 = 18 & 18/0 = ? => ?.0 = 18
Şu durumda 0/0 neden tanımsız değil diye sorulur. Onada şu cvbı verebiliriz. pay tarafından baksanız 0'ın bir sayıya bölündüğünü görür cvba 0 dersiniz, paydadan baksanız sayının 0'a bölündüğünü görür tanımsız dersiniz yani ne cvp vereceğinizi bilemezsiniz bu nedenle bu durum belirsizlikle ifade edilmiştir.
Gelelim sonsuz çıkar mı çıkmaz mı sorusuna. Şimdi sonsuz kavramı işe koşulduysa burda yukarıdaki gibi
5/0 = sonsuz yazıp içler dışlar çarpımı yapacak değilim bunu yapmayada hakkımız yok zaten.Yani 0.sonsuz = 5 olmadığından demek pek sığ kalıyor bence. ama insanın aklına ilk gelen şeyde şu oluyor. Gelin bakkal bölmesi yapalım yani 5 içinde kaç adet 0 vardır diye soralım kendimize siz deyin 5 ben diyeyim 15 bu durum bizi sonsuza kadar götürür sanıyorum. Biraz daha farklı bakacak olursak sonuca tanımsız dememizle sonsuz dememiz arasında "çokta farketmiyormuş" dedirtecek bir durumda var aslında.
Sonuca sonsuz diyelim zaten çalıştığımız hiçbir kümede sonsuz diye birşey tanımlı değil. Bu nedenle tanımsız cevabını seçmek en güzelidir.
Mesaj Birleştirildi: Aralık 05, 2013, 15:16:15
Sonsuzlukla ilgili bir merakınız oluşur diye Matematik Dünyası Dergisinde Prof.Dr.Ali NESİN tarafından kaleme alınan basit dilde yazılmış bir yazıyı da paylaşmak istiyorum.
Not: Kare şeklinde görünenler sonsuz sembolü ve boş küme sembolüdür.. Latexle yazılan bir yazıyı kopyaladığım için forumumuzun kelime işlemcisi bu sembolleri okuyamadı.
Matematik ve Sonsuz
Gerek konuşma vermeye gittiğim okullarda, gerek bana gelen okur mektuplarında, öğrenci ve öğretmenlerin matematikteki sonsuzluk kavramını pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örneğin, birçok kişi,
* Sonsuz eksi sonsuz,
* Sonsuz bölü sonsuz
gibi işlemlerin yapılabileceği sanıyor. Kimisi de “sonsuz eksi 1”in bir sayı olduğunu sanıyor, yani sonsuzdan hemen önce bir sayı olduğunu sanıyor.
Bu yazıda, matematikte kullanılan sonsuzluk kavramına biraz açıklık getirmek istiyorum.
“Sonsuz” dendiğinde, genellikle, çok uzakta, taa ötede, ulaşılamayacak bir yer düşünülür. Genel olarak, “sonsuz” sözcüğü bir yer adıymış gibi kullanılır. Bursa gibi, Balıkesir gibi, Fransa ya da Amerika gibi... Bursa’yla Sonsuz arasındaki tek ayrım, Sonsuz’a hiç ulaşılamamasıdır.
Kimi zaman da, “sonsuz” dendiğinde çok büyük bir miktar akla gelir, sayılamayacak kerte büyük bir miktar... Bu ikinci anlam, “sonsuz”un matematiksel anlamına daha yakındır.
Günlük yaşamda kullanılan anlamda bir “sonsuz”un gerçekte (doğada, evrende, uzayda...) olup olmadığı ayrı bir tartışma konusudur. Belki de bu anlamda “sonsuz”, imgelemin bir ürünüdür ve doğada yoktur. Ama bizim konumuz, sonsuzun varlığı ya da yokluğu değil, tanımı. Biraz daha açayım: “Sonsuz”un ne demek olduğunu tanımlamak başkadır, “sonsuz”un var olduğunu ya da olmadığını kanıtlamak başka. Yani, kavramın tanımıyla varlığı bambaşka sorulardır.
Ben, bu yazıda daha çok “sonsuz”un matematiksel tanımıyla ilgileneceğim. Konumuz felsefe değil. Yazının sonunda, matematikte sonsuzun varlığı konusuna şöyle bir değineceğim.
Yukarda, “sonsuz” sözcüğüne günlük yaşamda verdiğimiz anlamdan kısaca sözettim. Matematikte “sonsuz”un bambaşka bir anlamı vardır. Günlük yaşamda kullanılan “sonsuz”un tam ne demek olduğunu pek iyi bilmiyorsak da, matematikte “sonsuz” sözcüğünün kesin bir anlamı vardır.
Popüler matematik yazılarımın birçoğunda, günlük yaşamda kullanılan “sonsuz” kavramının bu belirsizliğinden yararlanıp çatışkılar (paradokslar) sundum okura. Bu çatışkılar bugün artık bir çatışkı değilse de, pek yakın bir zamana dek çatışkıydılar. Çünkü matematiğin “sonsuzluk” kavramı bir yüzyıl öncesine değin pek açık seçik bilinmiyordu. “Sonsuz” konusunda büyük bir kargaşa vardı. Kerli felli adamlar “sonsuz” kavramı üzerinde birbirleriyle anlaşamıyorlar, bu ayrılıktan dolayı birbirlerine küsüyorlardı. Kümeler kuramının gelişmesiyle birlikte (Georg Cantor sayesinde), matematikte “sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektiği anlaşıldı.
Matematikteki “sonsuz” kavramına açıklık getirilmesinin püf noktası şudur: “Sonlu”nun ne demek olduğunu anlarsak, “sonsuz”un da ne demek olduğunu anlarız, çünkü “sonsuz”, “sonlu”nun karşıtıdır, sonlu olmayana sonsuz deriz .
Matematikte “sonsuz” bir nitemdir (sıfattır), bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir nitemse (sıfatsa), matematikte kullanılan “sonsuz” da bir nitemdir. Sonsuz, sonlunun karşıtıdır. Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.
Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır.
Nasıl “sarı”, “yeşil”, “uzun”, “sıcak” birer nitemse, matematikteki “sonsuz” sözcüğü de bir nitemdir.
Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadığı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur.
Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer nitemdirler. Örneğin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcüğü “sayı” sözcüğünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcüğü “sayı”yı niteler. (Matematik bölümünde okumamış bir okurun sonsuz sayı kavramını, hatta sonlu sayı kavramını da, bildiğini sanmıyorum.)
Matematikte 5 bir nesnedir. 1 de bir nesnedir. Dolayısıyla 5’ten 1’i çıkarabiliriz ve 4 nesnesini buluruz.
Ama “sonsuz”, bir nesne olmadığından, matematikte – 1 diye bir nesne yoktur ve – 1’in yazılmaması gerekir. Bir nitemden bir nesne çıkaramayız.
Bu kavram karışıklığının suçlusu öğrenciler değil, elbette... Öğrenci hiçbir zaman suçlu olamaz. Lise öğrencilerine, bugünkü eğitim sistemimizde, “sonsuz”un tam matematiksel anlamı anlatılamaz. Bugünkü eğitim sistemimizde, din bilgisi gibi, savunma bilgisi gibi, trafik bilgisi gibi, ticaret gibi çok daha yararlı (!) ve sığ dersler okutulmaktadır. Öğrenciler haftada 4 saat matematik görürlerse ne âlâ!
Eğitim sistemimizin olduğu kadar biz matematikçilerin de suçu var bu kavram karışıklığında. Matematikçiler, “sonsuz”u çoğu kez bir ad gibi kullanırlar. Örneğin, sanki sonsuz bir yer adıymış gibi, “n sonsuza gittiğinde” derler. Hatta görmüşsünüzdür, limn yazarlar. Bu tümcecikte, “sonsuz” sanki bir yer adıymış gibi kullanılmış. Yanlış! Matematikte “sonsuz” diye bir yer yoktur.
Asıl suçlu simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi ‘dir örneğin. Oysa simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.
Bu yüzden “n sonsuza gittiğinde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdüğunde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.
Matematikçiler,
Sonsuz eksi sonsuz, –
Sonsuz bölü sonsuz, /
demez ve yazmazlar. Yazdıklarında da bunun ne demek olduğunu açıklamak zorundadır. Ama kimi zaman, matematikçi,
+ 1 =
– 1 =
+ =
/2 =
2 =
yazabilir. Burada, matematikçinin söylemek istediği,
* Sonsuz artı 1, sonsuza eşittir
* Sonsuz eksi 1, sonsuza eşittir
* Sonsuz artı sonsuz, sonsuza eşittir
* Sonsuz bölü 2, sonsuza eşittir
* İki kere sonsuz, sonsuza eşittir
değildir . Matematikçi sırasıyla şunları söylemek istiyordur:
* Durmadan büyüyen bir değişkenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,
* Durmadan büyüyen bir değişkene 1 eklersek, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,
* İki değişken durmadan büyüyorsa, o değişkenlerin toplamı da durmadan büyür,
* Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz,
* Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz.
Ta eski Yunanlılardan beri, matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine kafa yormuşlardır. Geçen yüzyılda, matematiğin sonsuzluk kavramını Alman matematikçi Georg Cantor biçimselleştirdi. Cantor’a göre sonsuz bir sıfattır. O gün bu gün, matematikçiler “sonsuz”u ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar.
Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı konusuna gelince ...
Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı (böyle bir nesnenin varlığını kabul eden bir belit/aksiyom olmadan) kanıtlanamaz. Öte yandan matematikçiler “sonsuz” nesnelerden sözedebilmek isterler. Matematikçi sonlu nesnelerle baktığında, kimi zaman sonsuzu görür gibi olur, yani “sonsuz,” sonlunun arasından kendini gösterir, kendini belli eder. Dolayısıyla matematikçi sonsuz nesnelerin varlığını kanıtlayamasa da, sonsuz nesnelerden sözedebilmek ister. Bir örnek vereyim.
0, 1, 2, 3, 4 gibi doğal sayılar sonlu matematiksel nesnelerdir (yani kümelerdir.) Peki, ya bu doğal sayılardan oluşan nesne? Yani
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
nesnesi? Bu nesnenin sonsuz olduğunu (yani sonsuz tane öğe içerdiğini) biliyoruz. Biliyoruz ama, matematikte böyle bir nesne var mıdır? Yani bu nesne, matematikte sözünü edebileceğimiz bir küme midir ?
Bu nesnenin bir küme olduğu “sonlu matematikte ” kanıtlanamaz.
Madem varlığını kanıtlayamıyoruz ama öyle bir nesnenin bir küme olmasını istiyoruz, biz de matematikte böyle bir kümenin olduğunu varsayarız, yani bu nesneyi küme yapacak bir beliti (aksiyomu) matematiğe sokarız... Böylece, matematikte sonsuz bir küme belirir... Daha önce yoktu, bir belitle var ettik!
Ve bu beliti kullanarak matematikte sonsuz bir nesnenin varlığını kanıtlamış oluruz.
Doğada sonsuz bir nesnenin olup olmadığı tartışmasını okurlara ve filozoflara bırakıyorum. Ben, bu konudaki düşüncelerimi, Matematik ve Doğa adlı kitabımın aynı başlıklı yazısında açıklamıştım.
